实对称矩阵A，B，分别存在实对称正定矩阵C，D，使得A＝C^2，B=D^2
则有C'(AB)C=C^-1(CCDD)C=CDDC=C'D'DC=(DC)'DC=E'E
E＝DC可逆，所以C'(AB)C正定，而AB与它相似，AB也正定。
矩阵正定性的性质：
1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
扩展资料：
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
1、A是正定矩阵；
2、A的一切顺序主子式均为正；
3、A的一切主子式均为正；
4、A的特征值均为正；
5、存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
6、存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
7、存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。
