【抽象代数】双二次扩域Q[i,sqrt(2)]的分析

1、Q[i,sqrt(2)]是从有理数域Q扩张而来。

这个过程可以分为两步。

2、Q[i]是Q的二次扩域。

3、Q[sqrt(2)]是Q的二次扩域。

4、但是这个二次扩域不是这么来的。

实际上，我们需要证明，x^2-2在Q[i]里面是既约多项式。

这只需要证明它不能分解因式就行了。

证明了x^2-2在Q[i]里面是既约多项式，那么就说明Q[i][sqrt(2)]是Q[i]的二次扩域，进而说明它是Q的双二次扩域。

5、上面的Q扩张到Q[i][sqrt(2)]的顺序是：

Q⊂Q[i]⊂Q[i][sqrt(2)]

我们还可以把扩张顺序颠倒一下：

Q⊂Q[sqrt(2)]⊂Q[sqrt(2)][i]

为此，我们要证明，多项式x^2+1=0在Q[sqrt(2)]里面是既约多项式。

6、Q[i][sqrt(2)]的自同构群有四个元素，其中：

σ表示复共轭，它保持sqrt(2)的符号不变；

τ把sqrt(2)变为相反数，而保持i的符号不变；

στ是二者的复合，把i和把sqrt(2)都变为相反数。

这个群同构于Klein四元群。

7、Q[i][sqrt(2)]的自同构群有三个真子群，分别对应于Q[i][sqrt(2)]和Q之间的三个中间域。